Comment utiliser le cercle des unités en trigonométrie
Vous avez probablement une idée intuitive de ce qu’est un cercle : la forme d’un panier de basket, d’une roue ou d’un quart. Vous vous souvenez peut-être même du lycée que le rayon est toute ligne droite qui part du centre du cercle et se termine à son périmètre.
Un cercle unitaire peut être utilisé pour définir les relations du triangle rectangle connues sous le nom de sinus, cosinus et tangente. Ces relations décrivent comment les angles et les côtés d’un triangle rectangle se rapportent les uns aux autres. Disons, par exemple, que nous avons un triangle rectangle avec un angle de 30 degrés et dont le plus long côté, ou hypoténuse, a une longueur de 7. Nous pouvons utiliser nos relations prédéfinies du triangle rectangle pour déterminer les longueurs des deux autres côtés du triangle.
Cette branche des mathématiques, connue sous le nom de trigonométrie, a des applications pratiques quotidiennes telles que la construction, le GPS, la plomberie, les jeux vidéo, l’ingénierie, le travail de charpentier et la navigation aérienne. Cliquez sur cercle unitaire pour bien comprendre le cercle trigonométrique.
Pour mémoriser un cercle des unités standard, nous devons être capables de nous souvenir de trois composantes majeures :
- Quatre quadrants
- 16 angles
- (x, y) coordonnées pour chacun des 16 angles, où le rayon touche le périmètre du cercle
Pour nous aider, nous allons nous souvenir d’un voyage au palais de la pizza des unités. Prenez quelques instants pour mémoriser ce qui suit jusqu’à ce que vous puissiez le réciter sans regarder :
- 4 parts de pizza
- 3 tartes pour 6€
- 2 tables carrées
- 1, 2, 3
Étape 1 : 4 parts de pizza
Imaginez une pizza entière, coupée en quatre parts égales. En mathématiques, nous appellerions ces quatre parties du cercle quadrants.
Nous pouvons utiliser les coordonnées (x, y) pour décrire tout point le long du bord extérieur du cercle. La coordonnée x représente la distance parcourue à gauche ou à droite du centre. La coordonnée y représente la distance parcourue vers le haut ou vers le bas. La coordonnée x est le cosinus de l’angle formé par le point, l’origine et l’axe des x. La coordonnée y est le sinus de l’angle.
Dans un cercle unitaire, une ligne droite parcourant la droite depuis le centre du cercle atteindra le bord du cercle à la coordonnée (1, 0). Si nous allions plutôt vers le haut, la gauche ou le bas, nous toucherions le périmètre à (0, 1), (-1, 0) ou (0, -1) respectivement.
Les quatre angles associés (en radians et non en degrés) ont tous un dénominateur de 2. (Un radian est l’angle fait en prenant le rayon et en l’enroulant autour d’un cercle. Un degré mesure les angles par la distance parcourue. Un cercle fait 360 degrés ou 2π radians).
Les numérateurs partent de 0, en commençant par la coordonnée (1,0), et comptent vers le haut dans le sens inverse des aiguilles d’une montre par 1π. Ce processus donnera 0π/2, 1π/2, 2π/2 et 3π/2. Simplifiez ces fractions pour obtenir 0, π/2, π et 3π/2.Quad
Étape 2 : 3 tartes pour 6 €
Démarrez avec » 3 tartes « . Jetez un coup d’œil à l’axe des y. Les angles radian directement à droite et à gauche de l’axe des y ont tous un dénominateur de 3. Chaque angle restant a un numérateur qui inclut la valeur mathématique pi, écrite sous la forme π.
« 3 tartes pour 6 » est utilisé pour rappeler les 12 angles restants dans un cercle unitaire standard, avec trois angles dans chaque quadrant. Chacun de ces angles s’écrit sous forme de fraction.
Le » pour 6 € » sert à rappeler que dans chaque quadrant, les dénominateurs restants sont 4 puis 6.
La partie la plus délicate de cette étape est de compléter le numérateur de chaque fraction.
Dans le quadrant 2 (quart supérieur gauche du cercle), mettez 2, puis 3, puis 5 devant π.
Votre premier angle dans le quadrant 2 sera 2π/3. En additionnant le 2 du numérateur et le 3 du dénominateur, vous obtiendrez 5. Regardez l’angle droit travers dans le quadrant 4 (quart inférieur droit du cercle). Placez ce 5 au numérateur en face de π. Répétez ce processus pour les deux autres angles des quadrants 2 et 4.
Nous allons répéter le même processus pour les quadrants 1 (en haut à droite) et 3 (en bas à gauche). Rappelez-vous, tout comme x est identique à 1x, π est identique à 1π. Nous ajoutons donc 1 à tous les dénominateurs du quadrant 1.
Le processus pour énumérer les angles en degrés (au lieu des radians) est décrit à la fin de cet article.
Étape 3 : 2 tableaux carrés
Le » 2 » dans » 2 tableaux carrés » sert à nous rappeler que les 12 paires de coordonnées restantes ont toutes un dénominateur de 2.
Le » carré » sert à nous rappeler que le numérateur de chaque coordonnée comprend une racine carrée. Nous ne commençons que par le quadrant 1 pour simplifier les choses. (Conseil : rappelez-vous que la racine carrée de 1 est 1, donc ces fractions peuvent être simplifiées à juste 1/2.)
Étape 4 : 1, 2, 3
Le » 1, 2, 3 » nous montre la succession de nombres sous chaque racine carrée. Pour les coordonnées x du quadrant 1, nous comptons de 1 à 3, en commençant par la coordonnée supérieure et en descendant.
Les coordonnées y ont les mêmes numérateurs, mais comptent de 1 à 3 dans le sens inverse, de bas en haut.
Le quadrant 2 a les mêmes coordonnées que le quadrant 1, mais les coordonnées x sont négatives.
Le quadrant 3 échange les coordonnées x et y du quadrant 1. Toutes les coordonnées x et y sont également négatives.
Comme le quadrant 3, le quadrant 4 commute également les coordonnées x et y du quadrant 1. Mais seules les coordonnées y sont négatives.
Angles en degrés
Vous pouvez vouloir référencer les angles en degrés plutôt qu’en radians. Pour ce faire, commencez à 0 degré à la coordonnée (1,0). À partir de là, nous ajouterons 30, 15, 15, puis 30. Dans le quadrant 1, nous ajoutons 30 à 0 pour obtenir 30, ajoutons 15 à 30 pour obtenir 45, ajoutons 15 à 45 pour obtenir 60, et ajoutons 30 à 60 pour obtenir 90.
Nous répétons ensuite le processus pour les quadrants restants, en ajoutant 30, 15, 15 et 30 jusqu’à ce que nous atteignions la fin du cercle. Ainsi, le quadrant 4 aura des angles allant de 270 à 330 degrés.
